Géométrie Vectorielle 3D

Mathematiques

Pour naviguer dans l'espace, il faut maîtriser les 3 dimensions. Vecteurs, Plans, Sphères et Produits Vectoriels.

➕ Additionne deux vecteurs

Attrape la pointe bleue ou la pointe violette (clic ou doigt) et déplace-la. La résultante u + v se met à jour en temps réel.

(3 ; 2)

(1 ; -2)

u + v

(4 ; 0)

🚀 Pourquoi la Géométrie 3D ?

Dans l'espace à 3 dimensions, tout objet a une position (x, y, z). Que ce soit un satellite en orbite, un drone qui vole, ou un personnage dans un jeu vidéo, la géométrie vectorielle 3D est l'outil mathématique indispensable pour comprendre et calculer leurs mouvements.

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📍 Les Vecteurs en 3D

Un vecteur 3D est une "flèche" dans l'espace avec 3 composantes : x (largeur), y (hauteur) et z (profondeur).

Notation

$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = (x, y, z) $$

Exemple : $\vec{v} = (3, 4, 5)$ → "3 vers la droite, 4 vers le haut, 5 vers l'avant"

Norme (longueur)

$$ ||\vec{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$

C'est la distance du point à l'origine (Pythagore en 3D !)

Addition

$(1,2,3) + (4,5,6) = (5,7,9)$

Multiplication scalaire

$2 \times (1,2,3) = (2,4,6)$

Vecteur unitaire

$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}$ (norme = 1)

Le Repère 3D en Mains

Pilote le vecteur u avec les curseurs x / y / z. Puis change de mode pour voir la norme, le produit scalaire ou le produit vectoriel se recalculer en direct.

x (largeur) = 2 y (hauteur) = 2 z (profondeur) = 1

🔢 Le Produit Scalaire (Dot Product) en 3D

Le produit scalaire mesure à quel point deux vecteurs "vont dans la même direction". C'est un nombre (pas un vecteur). Super utile pour calculer des angles !

Formule algébrique

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v $$

Formule géométrique

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta) $$

💡 Application : Trouver l'angle entre deux vecteurs

$$ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||} $$

Résultat > 0

Angle aigu (< 90°)

Résultat = 0

Perpendiculaires (90°)

Résultat < 0

Angle obtus (> 90°)

✖️ Le Produit Vectoriel (Cross Product)

Le produit vectoriel crée un nouveau vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs d'origine. C'est l'outil magique pour trouver la normale d'un plan !

Formule

$$ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} u_y v_z - u_z v_y \\ u_z v_x - u_x v_z \\ u_x v_y - u_y v_x \end{pmatrix} $$

📏 Sa norme

$||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \sin(\theta)$

= Aire du parallélogramme formé par u et v

⚠️ Attention !

$\vec{u} \times \vec{v} \neq \vec{v} \times \vec{u}$

En fait : $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$

🎮 Utilisation en jeu vidéo

Le produit vectoriel calcule la normale d'une surface pour savoir comment la lumière rebondit dessus (éclairage), ou pour détecter de quel côté d'un mur se trouve le joueur.

📐 Les Plans dans l'Espace

Un plan est une surface plate infinie. Pour le définir, on a besoin d'un point et d'un vecteur normal (perpendiculaire au plan).

Équation cartésienne

$$ ax + by + cz + d = 0 $$

où $\vec{n} = (a, b, c)$ est le vecteur normal

Équation paramétrique

$$ P = P_0 + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v} $$

$P_0$ = point du plan, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ = vecteurs directeurs

📌 Comment trouver l'équation d'un plan passant par 3 points A, B, C ?

1. Calculer $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$
2. Faire le produit vectoriel : $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$
3. Utiliser un point (ex: A) pour trouver d : $d = -(a \cdot x_A + b \cdot y_A + c \cdot z_A)$

➡️ Les Droites dans l'Espace 3D

Une droite en 3D est définie par un point et un vecteur directeur.

Équation paramétrique

$$ \begin{cases} x = x_0 + t \cdot a \\ y = y_0 + t \cdot b \\ z = z_0 + t \cdot c \end{cases} $$

$(x_0, y_0, z_0)$ = point de la droite, $(a, b, c)$ = vecteur directeur, $t \in \mathbb{R}$

Distance point-droite

$d = \frac{||\vec{AP} \times \vec{u}||}{||\vec{u}||}$

Distance point-plan

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

🔵 Les Sphères

Une sphère est l'ensemble de tous les points situés à une même distance R (rayon) d'un point central C.

Équation

$$ (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 + (z - z_c)^2 = R^2 $$

Centre $C(x_c, y_c, z_c)$ et rayon $R$

🎮 En jeu vidéo : Collision sphérique

Pour savoir si deux objets se touchent, on vérifie si la distance entre leurs centres est inférieure à la somme de leurs rayons : $d(C_1, C_2) < R_1 + R_2$

📋 Mémo : Formules Essentielles

Produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Produit vectoriel : $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{n}$ (perpendiculaire)

Norme : $||\vec{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Angle : $\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$

TARGET LOCK: NO

DISTANCE: ---

DRAG to Rotate View

ANTENNA VECTOR

Align the yellow vector with the red target.

X 0

Y 0

Z 0

1. Produit Scalaire (Dot Product)

Sert à calculer l'angle entre deux vecteurs ou projeter l'un sur l'autre.

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v $$ $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta) $$

Si le produit scalaire est 0, les vecteurs sont orthogonaux (90°).

2. Produit Vectoriel (Cross Product)

Crée un troisième vecteur perpendiculaire aux deux premiers. Essentiel pour trouver la normale d'un plan.

$$ \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} $$

Utilisé pour calculer l'équation d'un plan défini par 3 points.

3. Équation du Plan

Défini par un vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ et un point.