La droite \(y = ax + b\) 🎚️
Bouge les deux curseurs : a est la pente (inclinaison) et b l'ordonnée à l'origine (là où la droite croise l'axe vertical).
y = 1x + 0
Décodage des Formules 🔍
📈 Les Droites (Affines & Linéaires)
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a
La Pente (ou Coefficient Directeur)
C'est l'inclinaison de la droite.
a > 0 : Ça monte ↗️ a < 0 : Ça descend ↘️ -
b
L'Ordonnée à l'Origine
C'est le point de départ vertical (où la droite coupe l'axe Y).
Si b = 0, la droite passe par le centre (0,0) -> Fonction Linéaire.
🌙 Les Paraboles (Fonction Carré)
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a
La Courbure (Concavité)
Il décide du sens du "bol".
a > 0 : Sourire (U) 😊 a < 0 : Triste (∩) ☹️ -
b
Le Décalage Horizontal et la Pente au Sommet
Il influence la position du sommet et la symétrie de la parabole.
Quand b=0, le sommet est sur l'axe Y.
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c
L'Ordonnée à l'Origine
Comme pour les droites, c'est là où la courbe coupe l'axe vertical (Y).
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S
Le Sommet
Le point le plus haut (montagne) ou le plus bas (vallée) de la courbe.
Les Grandes Familles de Fonctions 📚
Fonction Constante
Une ligne horizontale. Peu importe x, le résultat est toujours le même.
À quoi ça sert ? À simplifier la facturation et prévoir un budget fixe, peu importe la consommation.
Comment ça marche : \(f(x) = 15€\). Que tu regardes \(x=1\) film ou \(x=100\) films, le prix \(f(x)\) reste bloqué sur 15. La courbe est plate car le montant ne dépend pas de l'activité.
Fonction Linéaire
Une droite qui passe TOUJOURS par l'origine (0,0). Proportionnalité directe.
À quoi ça sert ? À calculer un prix total proportionnel à la quantité achetée (commerce, essence, salaire horaire).
Comment ça marche : \(f(x) = 3x\). Si le prix est 3€/kg, pour \(x\) kilos, tu multiplies juste par 3. Si tu prends 0 kg, tu paies 0€ (passe par l'origine).
Fonction Affine
Une droite avec un décalage vertical. C'est la généralisation de la linéaire.
À quoi ça sert ? À modéliser un service qui a un coût fixe d'entrée + un coût variable.
Comment ça marche : \(f(x) = 2x + 5\). Les 5€ sont la "prise en charge" (tu paies dès que tu montes, \(x=0\)). Ensuite, chaque km ajoute 2€. C'est comme une linéaire, mais décalée au départ.
Fonction Quadratique (Parabole)
Forme en U (ou ∩). A un sommet (minimum ou maximum).
À quoi ça sert ? À prédire où va tomber un objet lancé (ballon de basket, fusée, pierre) soumis à la gravité.
Comment ça marche : La gravité tire vers le bas avec une force constante, ce qui crée une accélération. La distance parcourue dépend du temps au carré (\(t^2\)). C'est pourquoi la trajectoire fait toujours une belle arche symétrique.
Fonction Racine Carrée
Commence à (0,0) et monte doucement. N'existe que pour x ≥ 0.
À quoi ça sert ? Aux experts en accidents pour calculer la vitesse d'une voiture d'après ses traces de freinage.
Comment ça marche : L'énergie cinétique est liée au carré de la vitesse (\(v^2\)). Donc inversement, la vitesse est liée à la racine de l'énergie (ou distance). Pour doubler ta vitesse, la distance de freinage ne double pas, elle quadruple !
Fonction Inverse (Hyperbole)
Deux branches qui ne touchent jamais les axes. Interdit : x = 0 !
À quoi ça sert ? À répartir une ressource fixe (gâteau, héritage, temps) entre un nombre variable de personnes.
Comment ça marche : \(f(x) = 1/x\). Plus le nombre d'amis \(x\) augmente, plus la part de chacun \(f(x)\) diminue rapidement. Si \(x\) est immense, la part est quasi nulle, mais jamais zéro.
Fonction Exponentielle
Croissance explosive ! Modélise la croissance des populations, intérêts composés...
À quoi ça sert ? À modéliser tout ce qui se multiplie par lui-même (bactéries, followers, intérêts composés).
Comment ça marche : Chaque nouvel élément crée lui-même de nouveaux éléments. Si 1 personne contamine 2 personnes, qui en contaminent 2 autres... on passe de 1 à 1000 très vite. C'est le fameux "coude" de la courbe.
Fonction Logarithme
L'inverse de l'exponentielle. Monte lentement. N'existe que pour x > 0.
À quoi ça sert ? À mesurer des choses qui varient énormément (comme le son ou les tremblements de terre) sur une échelle compréhensible (0 à 10).
Comment ça marche : Notre cerveau perçoit les multiplications, pas les additions. Pour sentir qu'un son est "2x plus fort", l'énergie physique doit être multipliée par 10. Le log "écrase" les grands nombres pour les rendre lisibles.
Fonction Valeur Absolue
Forme en V. Renvoie toujours une valeur positive (la distance à zéro).
À quoi ça sert ? À calculer des distances ou des marges d'erreur, où le signe (négatif/positif) n'a pas d'importance.
Comment ça marche : Si tu es à -5km (Sud) ou +5km (Nord) de chez toi, le GPS affiche "5km" dans les deux cas. La distance physique est toujours positive : \(d = |x_{final} - x_{initial}|\).
Fonctions Trigonométriques
Fonctions périodiques (se répètent). Oscillent comme des vagues.
À quoi ça sert ? À modéliser tout ce qui vibre, oscille ou tourne en boucle (cycles).
Comment ça marche : Le courant électrique de ta prise (AC) oscille entre +220V et -220V 50 fois par seconde. Cette alternance parfaite suit une courbe sinusoïdale, car elle provient de la rotation d'un aimant dans une turbine.
🎯 Mémo : Comment Reconnaître une Fonction ?
Le Morphing des Familles
Explorées : 1/10Les 10 familles du catalogue dans un seul repère. Change de famille : la courbe se métamorphose. Puis sculpte-la avec a (étirement) et b (décalage vertical).
f(x) = 1.0
Une ligne horizontale : peu importe x, la sortie ne bouge pas.
La Machine \(f(x)\)
Imagine une usine. Tu fais entrer une matière première (\(x\)), l'usine la transforme, et il en sort un produit fini (\(y\)).
Entrée: 5 ➡️ Machine [×2 + 3] ➡️ Sortie: 13
Visualiseur de Fonctions
Fonction Affine
- 🔹 a : Pente (inclinaison)
- 🔹 b : Ordonnée à l'origine (départ)
Fonction Carrée
- 🔹 Forme une courbe en "U"
- 🔹 \(a > 0\) : Sourire 😊
- 🔹 \(a < 0\) : Triste ☹️