La tangente en mouvement
La dérivée \(f'(x)\) est la pente de la tangente à la courbe en ce point. Ici \(f(x)=x^2\), donc \(f'(x)=2x\). Bouge le curseur : le point glisse et la droite pivote.
Pente f'(x) = 2x
1.60
Point (x , x²)
(0.8 ; 0.64)
🎯 C'est quoi une dérivée, concrètement ?
Imagine que tu roules en voiture. Le compteur de vitesse te donne ta vitesse à cet instant précis. Cette vitesse instantanée, c'est exactement ce qu'est la dérivée !
📍 Position s(t)
Où tu es à chaque instant
🚀 Dérivée s'(t) = Vitesse
À quelle vitesse tu te déplaces à cet instant
💡 En résumé : La dérivée mesure le taux de variation instantané d'une fonction. C'est la réponse à la question : "À quelle vitesse cette quantité change-t-elle ?"
📐 La Définition Mathématique
La dérivée de f en un point a est la limite du taux d'accroissement quand l'intervalle devient infiniment petit.
Variation de la fonction
Variation de x
On réduit l'intervalle à presque 0
📈 Interprétation Géométrique : La Tangente
Graphiquement, la dérivée f'(a) représente la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
f'(a) > 0
La tangente monte → Fonction croissante
f'(a) < 0
La tangente descend → Fonction décroissante
f'(a) = 0
Tangente horizontale → Point critique (max, min, ou inflexion)
📝 Équation de la tangente
Avec : point de tangence (a, f(a)) et pente f'(a)
📋 Tableau des Dérivées Usuelles (À connaître par cœur !)
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| √x = x^(1/2) | 1/(2√x) |
| 1/x = x⁻¹ | -1/x² |
| eˣ | eˣ |
| ln(x) | 1/x |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | 1/cos²(x) = 1 + tan²(x) |
L'Atelier des Dérivées Usuelles
Explorées : 1/10Les 10 fonctions du tableau. Choisis-en une : sa courbe f se trace, puis sa dérivée f' apparaît en pointillé. Compare les deux !
L'exposant descend devant, puis on enlève 1 : (x²)' = 2x.
🛠️ Les Règles de Dérivation
➕ Somme
La dérivée d'une somme = somme des dérivées
🔢 Produit par constante
La constante "sort" de la dérivée
✖️ Produit (règle cruciale !)
"Dérivée du 1er × 2ème + 1er × dérivée du 2ème"
➗ Quotient
Plus complexe - attention au signe !
🔗 Composée (Chain Rule - la plus importante !)
"Dérivée de l'extérieur (évaluée à l'intérieur) × dérivée de l'intérieur"
Exemple : Pour dériver (2x + 1)³
→ Extérieur : u³, dérivée 3u²
→ Intérieur : 2x + 1, dérivée 2
→ Résultat : 3(2x + 1)² × 2 = 6(2x + 1)²
Les 5 Règles en Action
Choisis une règle : la formule se construit sous tes yeux, morceau par morceau, avec un exemple concret.
La dérivée d'une somme, c'est la somme des dérivées : chacun reçoit son prime.
🌍 Applications Concrètes des Dérivées
🚗 Physique
Position → Vitesse (1ère dérivée) → Accélération (2ème dérivée)
📊 Économie
Coût total → Coût marginal (coût de produire 1 unité de plus)
📈 Optimisation
Trouver le maximum de profit, le minimum de coût (f'(x) = 0)
🧬 Biologie
Taux de croissance d'une population, vitesse de réaction chimique
📊 Étude de Fonction avec la Dérivée
La dérivée permet d'analyser complètement le comportement d'une fonction.
1️⃣ Trouver les points critiques
Résoudre f'(x) = 0 pour trouver où la tangente est horizontale
2️⃣ Tableau de signes de f'
f' > 0 → f croissante ↗️ | f' < 0 → f décroissante ↘️
3️⃣ Nature des extremums
Si f' passe de + à - : Maximum local | Si f' passe de - à + : Minimum local
⚠️ Pièges à Éviter
- ✗ Oublier la règle de la chaîne : (sin(2x))' ≠ cos(2x), c'est 2·cos(2x)
- ✗ Confondre produit et composée : x·sin(x) utilise la règle du produit, sin(x²) utilise la chaîne
- ✗ Se tromper de signe : (cos x)' = -sin x, pas sin x
- ✗ Croire que f'(a) = 0 implique un extremum : ça peut aussi être un point d'inflexion (ex: x³ en 0)
- ✗ Oublier le domaine : ln(x) n'est dérivable que pour x > 0
🏎️ Briefing : La Pente
Imaginez une voiture qui roule sur des montagnes russes (la courbe).
-
↗️
Ça monte La dérivée est POSITIVE (+)
-
↘️
Ça descend La dérivée est NÉGATIVE (-)
-
➡️
C'est plat (Sommet/Creux) La dérivée est NULLE (0)
Le "prime" (') signifie "taux de variation".
C'est la vitesse instantanée de changement.
Laboratoire de Pente
Explorez la courbe et trouvez les sommets, montées et descentes !
Laboratoire de Pente
🧪 Quiz Théorique
Testez vos connaissances sur les dérivées
5 questions aléatoires sur la théorie des dérivées : définition, règles de calcul, et applications.