Algèbre Linéaire

Vecteurs & Matrices

La mathématique qui fait tourner les jeux vidéo (3D, Physique, IA).

🎯 Pourquoi l'Algèbre Linéaire ?

Imagine que tu veux créer un jeu vidéo. Ton personnage doit bouger, tourner, sauter. Les ennemis doivent te suivre. La caméra doit s'orienter. Tout ça, c'est de l'algèbre linéaire.

🎮

Jeux 3D : rotation de caméra, mouvements

🤖

IA & Machine Learning : réseaux de neurones

📊

Data Science : analyse de données

📍 Les Vecteurs : Des Flèches Magiques

Un vecteur n'est pas un point, c'est un déplacement. Il a une direction, un sens et une longueur (magnitude).

$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$

→ "Avance de 3 vers la droite et de 4 vers le haut"

Norme La longueur du vecteur : $||\vec{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$
Direction L'angle du vecteur : $\theta = \arctan(y/x)$

➕ Opérations sur les Vecteurs

Addition

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$

On additionne composante par composante

Multiplication par un scalaire

$$ 3 \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Le vecteur est "étiré" 3 fois

L'Atelier des Vecteurs

Les 3 opérations de la fiche, flèches en main. Choisis un mode, puis bouge les curseurs : tout se recalcule en direct.

u v
u + v = (3 ; 3)

On additionne composante par composante : la résultante verte ferme le parallélogramme.

🔢 Le Produit Scalaire (Dot Product)

Le produit scalaire mesure à quel point deux vecteurs "vont dans la même direction". C'est un nombre, pas un vecteur.

Formule

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 $$
$$ = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta) $$
> 0 : Les vecteurs vont dans le même sens
= 0 : Les vecteurs sont perpendiculaires (90°)
< 0 : Les vecteurs vont en sens opposé

💡 En jeu vidéo : Le produit scalaire sert à savoir si un ennemi est devant ou derrière toi !

🔲 Les Matrices : Transformateurs de l'Espace

Une matrice est un tableau de nombres qui représente une transformation. Quand tu multiplies un vecteur par une matrice, tu le transformes.

Identité

$$ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Ne change rien

Zoom ×2

$$ S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$

Agrandit tout

Rotation 90°

$$ R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Tourne à gauche

Comment ça marche ?

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix} $$

Chaque ligne de la matrice fait un produit scalaire avec le vecteur

✖️ Multiplication de Matrices

Multiplier deux matrices = enchaîner deux transformations. Attention : l'ordre compte ! A×B ≠ B×A

Règle des dimensions

$$ (m \times \colorbox{#fbbf24}{n}) \times (\colorbox{#fbbf24}{n} \times p) = (m \times p) $$

Les dimensions intérieures doivent correspondre

⚠️ Une matrice 2×3 peut être multipliée par une 3×4, mais PAS par une 2×4

📐 Le Déterminant

Le déterminant d'une matrice mesure comment elle déforme l'espace.

Matrice 2×2

$$ \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc $$
det > 0 : Agrandissement (conserve l'orientation)
det < 0 : Miroir (inverse l'orientation)
det = 0 : Écrasement (pas d'inverse possible !)

La Machine à Transformer

Applique une matrice au carré unité (et à sa flèche) : l'espace se déforme sous tes yeux et le déterminant raconte ce qui s'est passé.

Matrice appliquée

( 10 01 )

det = 1

La matrice identité ne change rien : c'est le « 1 » du monde des matrices.

⚖️ Systèmes d'Équations Linéaires

Un système d'équations peut s'écrire sous forme matricielle : A·x = b

Système classique :

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

Forme matricielle :

$$ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} $$

1 solution

det(A) ≠ 0

∞ solutions

Équations dépendantes

0 solution

Système impossible

C'est quoi un vecteur ?

C'est une instruction de déplacement. "Avance de X, Monte de Y".

$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
MISSION : CIBLE

Atteignez la Cible 🎯

1
0
0
1

Ceci est la "Matrice Identité". Elle ne change rien.

La Machine à Transformer

Une matrice est un outil qui modifie l'espace (Rotation, Zoom, Déformation).

BOSS FINAL 👾

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